Matematika

Materi Persamaan Kuadrat – Rumus, Akar, & Contoh Soal

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 1
Ditulis oleh admin

Bagi Edufriends yang memasuki masa SMA pasti belajar materi persamaan kuadrat dong? Apa sih itu persamaan kuadrat? Apa ciri khas yang membedakannya dengan persamaan lain? Di pembahasan materi persamaan kuadrat kali ini juga terdapat rumus persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat, serta contoh soal persamaan kuadrat terbaru yang diambil dari buku soal matematika SMA Gramedia terbaru.

✔ Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah sebuah persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya 2 atau berorde 2. Salah satu contoh persamaan kuadrat seperti ini:

Contoh Persamaan Kuadrat

Gambar diatas adalah Contoh Persamaan Kuadrat

 

Berbeda dengan persamaan linier yang memiliki pangkat tertinggi 1 (satu), pada persamaan di atas memiliki pangkat tertinggi yaitu 2 sehingga disebut kuadrat.

✔ Penerapan Persamaan Kuadrat Pada Kehidupan

Lantas, bagaimana penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari?

Penerapan persamaan kuadrat bisa kita lihat salah satunya dalam olahraga. Seperti memanah, bermain basket, maerican football, sepakbola dan lain sebagainya. Saat pemain melepaskan tembakan, lintasan yang ditembakkan tidaklah membentuk garis lurus melainkan garis melengkung atau kurva. Gerakan yang dihasilkan itu disebut parabola yang merupakan salah satu bentuk grafik dari persamaan kuadrat. Berikut adalah ilustrasi dari parabola yang dimaksud :

contoh parabola

contoh ilustrasi parabola via pinterest

 

Kira-kira apa lagi ya Edufriends penerapan persamaan kuadrat? Simak beberapa contoh berikut ya

1. Bentuk Pelangi

bentuk pelangi

bentuk pelangi via Flaticon

 

Berbagai ciptaan Tuhan yang indah bisa kita lihat di dunia ini salah satunya adalah pelangi. Pelangi yang memiliki banyak warna merupakan suatu keindahan yang tercipta dengan sendirinya setelah hujan datang. Ibarat sebuah pepatah “Pelangi datang setelah ada hujan badai begitu juga dengan kebahagiaan yang datang setelah mengalami penderitaan”. Bentuk pelangi menyerupai sebuah parabola atau kurva. Hal ini menunjukkan bahwa salah satu ciptaan Tuhan dapat diterapkan dalam persamaan kuadrat.

2. Arah Tendangan Bola

Arah Tendangan Bola

Arah Tendangan Bola

 

Jika kita gemar menonton pertandingan atau bermain sepakbola, pasti tidak luput dari gerakan menendang bola jauh yang arahnya membentuk kurva atau parabola. Gerakan ini juga merupakan salah satu penerapan dari persamaan kuadrat dengan besarnya gaya tendangan bola sebagai variable yang mempengaruhi.

3. Gerakan Busur Panas

Gerakan Busur Panas

Gerakan Busur Panas

 

Salah satu hobi yang cukup menantang dan butuh konsentrasi yang tinggi adalah Memanah. Pemanah harus fokus dalam membidik target dan memperhatikan besarnya tarikan yang dilakukan agar tepat sasaran. Saat anak panah dilepaskan, panah membentuk kurva sampai berhenti pada target. Sehingga, arah busur panah yang dilepaskan merupakan salah satu penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.

4. Melempar dan Memukul Bola Baseball

Melempar dan Memukul Bola Baseball

Melempar dan Memukul Bola Baseball

 

Dalam permainan Baseball, tanda pertandingan dimulai adalah saat pitcher melempar bola ke arah batter dan catcher. Gerakan melempar bola tersebut jika diperhatikan dengan seksama membentuk parabola atau kurva, begitupun dengan gerakan bola jika berhasil dipukul oleh batter yang melambung sejauh mungkin. Arah bola dalam keseluruhan permainan baseball merupakan penerapan dari persamaan kuadrat.

Menarik, kan Edufriends? Untuk mengetahui lebih lanjut apa itu persamaan kuadrat yuk simak penjelasan artikel ini selanjutnya!

✔ Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum dari Persamaan Kuadrat adalah sebagai berikut

Bentuk Umum persamaan Kuadrat

Bentuk Umum

  • a,b, dan c bilangan real. a≠0
  • x adalah variable atau nilai yang belum diketahui dan memenuhi persamaan kuadrat tersebut

 

Berikut adalah beberapa contoh persamaan:

(Jika menggunakan HP, Silahkan Rotate Layar Handphone Menjadi Landscape)

Bentuk Persamaan

Persamaan Kuadrat/Bukan

Alasan

Nilai a,b, dan c

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 2

Persamaan Kuadrat


Sesuai dengan Bentuk Umum


a=3,b=4, dan c=3

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 3

Persamaan Kuadrat

Memiliki pangkat tertinggi 2 dengan variabel x

a=1,b=-5, dan c=0

10x+7 = 0

Bukan Persamaan Kuadrat

Pangkat tertinggi pada persamaan bukan 2 sehingga tidak ada nilai a

-

2y (y+1)=0

Persamaan Kuadrat

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 4

a=2,b=2, dan c=0

Edufriends, sampai sini sudah paham kan bentuk-bentuk persamaan kuadrat?

✔ Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Semua soal dan penjelasan didapatkan dari koleksi buku modul Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII milik Edutore. Kamu bisa berlatih soal UN Matematika SMA dan soal UN SMA berbagai mata pelajaran lain di edutore.

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 5Modul : Jagoan Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII
Tema : Persamaan dan Fungsi Kuadrat

 

Solusi untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat didapatkan saat hasil substitusi sama dengan 0 (nol) dan biasa disebut akar-akar persamaan. Biasanya ada 2 akar-akar persamaan yang didapatkan. Terdapat tiga cara untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

 

1. Cara Memfaktorkan

Faktorisasi adalah mengubah penjumlahan suku-suku aljabar ini menjadi bentuk perkalian. Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat

ax^{2}+bx+c=0 menjadi (rx-p) (sx+q)=0

 

Contoh Soal Faktorisasi Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan kuadrat 6x^{2}+13x-5=0 adalah …

 

a. -\frac{5}{2} atau  \frac{1}{2}

b. -\frac{5}{2} atau  \frac{1}{3}

c.  \frac{5}{3}  atau  -\frac{1}{2}

d.\frac{5}{2}  atau  -\frac{1}{3}

e.  -\frac{5}{3}  atau  -\frac{1}{2}

 

Pembahasan:
Persamaan kuadrat Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 6dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan
6x^{2} + 13x-5 = 0
(3x-1) (2x+5) = 0
3x = 1 atau 2x = -5
x_{1} = \frac{1}{3} atau x_{2} = -\frac{5}{2}

Sehingga, akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \left \{ -\frac{5}{2},\frac{1}{3} \right \}

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode dengan mengubah umum menjadi bentuk kuadrat sempurna seperti

  (x+1)^{2} atau (2x-3)^{2}.

Metode ini mengubah bentuk ax^{2}+bx+c=0 menjadi bentuk:

x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c

 

(x + \frac{b}{2})^{2} = (\frac{b}{2})^{2} - c

Contoh Soal Kuadrat Sempurna

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari x^{2}-2x+1=7 dengan melengkapkan kuadrat sempurna!

 

Pembahasan:

x^{2}-2x+1=7
(x-1)^{2}=7
(x-1)^{2}=\sqrt{7}
x = \pm \sqrt{7} + 1
x_{1} = \sqrt{7}+1 atau x_{2} = -\sqrt{7}+1

Sehingga HP = \begin{Bmatrix}\sqrt{7}+1, -\sqrt{7}+1\end{Bmatrix}

 

3. Rumus ABC

Metode ini memanfaatkan nilai ( {a, b,} ) dan ( c ) dari suatu persamaan kuadrat untuk mendapatkan akar-akar ( ax^{2}+bx+c=0 ). Nilai x_{1} dan x_{2}  dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

 

Contoh Soal Rumus ABC

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( x^{2}-4x+2=0 ) dengan rumus ABC!

Pembahasan:

Dari ( x^{2}-4x+2=0) diperoleh ( a=1;b=-4;c=2)
( x_{1,2}) = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} =\frac{- \left( -4 \right) \pm \sqrt{ \left( -4 \right) ^{2}-4 \left( 1 \right) \left( 2 \right) }}{2 \left( 1 \right) } )
( \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2})

Jadi, ( x_{1}=2+\sqrt{2} ) atau ( x_{2}=2-\sqrt{2} )

 

Nah setelah 3 cara menyelesaikan persamaan kuadrat, berikutnya mari kita lanjutkan ke jumlah, selisih, dan hasil kali akar.

 

✔ Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar

Persamaan kuadrat berbentuk ( ax^{2}+bx+c=0 ) dan memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ) bisa diubah menjadi bentuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian sehingga berlaku rumus:

  1. x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
  2. x_{1.}x_{2}=\frac{c}{a}
  3.   x_{1}-x_{2}= \pm \frac{\sqrt{D}}{a} )
  4.   x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-2x_{1}x_{2} 
  5. x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) \left( x_{1}-x_{2} \right)
  6.   x_{1}^{3}+x_{2}^{3}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}+x_{2} \right)
  7.   x_{1}^{3}-x_{2}^{3}= \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{3}-3x_{1}x_{2} \left( x_{1}-x_{2} \right) 
  8.   \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}
  9.   \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} 
  10.   \frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}} 
  11. \left( x_{1}-x_{2} \right) ^{2}= \left( x_{1}+x_{2} \right) ^{2}-4x_{1}x_{2}

Contoh Soal Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Akar

Berikut adalah contoh soal dari jumlah, selisih, dan hasil kali akar . . .

1. Persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) memiliki akar-akar ( x_{1} ) dan ( x_{2} ). Nilai dari ( \frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}} ) adalah …

a. - \frac{17}{8} 

b. \frac{17}{8} )

c. -\frac{1}{4} 

d. (4 

e. \frac{15}{8}

 

Pembahasan:
Dari persamaan kuadrat ( 2x^{2}-x-4=0 ) pada soal, dapat diketahui bahwa nilai dari

x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}=-2    dan   x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 7

 

2. Persamaan kuadrat (x^{2}- \left( a+1 \right) x-a-6=0 memiliki akar-akar  x_{1} dan  x_{2}  . Jika  x_{1}+x_{2}=4 , maka nilai dari x_{1}.x_{2} adalah . . .

a. -9
b. -3
c. 0
d. 3
e. 9

 

Pembahasan

Untuk mencari nilai a menggunakan rumus:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 8

Sehingga nilai x_{1}.x_{2} dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai a

 

✔ Diskriminan dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Apakah Edufriends melihat rumus b^{2}-4ac di atas? Rumus itu disebut dengan diskriminan (D) dari sebuah persamaan kuadrat ax^{2}+bx+c=0 . Hubungan diskriminan dengan sifat akar-akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 9

Dari tabel di atas dapat dipersingkat bahwa hubungan akar-akar persamaan kuadrat dengan diskriminan adalah sebagai berikut:

  • Jika D≥0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar real, dengan rincian:
    • D>0 : akar-akarnya nyata dan berlainan
    • D=0 : akar-akarnya sama/kembar
  • Jika D>0 berarti persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak real atau imajiner

Contoh Soal Diskriminan dan Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 10Modul: Cara WIN-WIN SOLUTION Selesaikan Soal Matematika SMA
Tema: Persamaan dan Fungsi Kuadrat

 

1. Persamaan kuadrat x^{2}+ \left( \text{m – 2} \right) x+2m-4=0 tidak mempunyai akar-akar real. Batas–batas nilai m yang memenuhi adalah…
a. m ≤ 2 atau m ≥ 10
B. m ≤ -10 atau m ≥- 2
C. m < 2 atau m > 10
D. 2 < m < 10
E. -10 < m< -2

 

Pembahasan

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 11

 

2. Persamaan \left( 3m-7 \right) x^{2}-5x-1=0 mempunyai akar-akar riil berkebalikan, maka nilai m adalah ….

a. -2

b. -\frac{1}{2}

c. \frac{1}{2}

d. 2

e. 3

 

Pembahasan

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 12

✔ Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Akar-akar persamaan kuadrat baru yang mempunyai hubungan yang beraturan dengan x_{1} dan x_{2} yang merupakan akar-akar persamaan ax^{2}+bx+c=0 adalah invers dari akar-akar tersebut. Sehingga dapat disusun Persamaan kuadrat baru sebagai berikut:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 13

Jika berdasarkan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akar x_{1} dan x_{2} hendak dibuat persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya berbeda dengan tabel di atas seperti x_{3} dan x_{4} , maka perlu dicari terlebih dahulu akar-akar persamaan kuadrat tersebut dan dibentuk menjadi persamaan kuadrat sebagai berikut:

 

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 14

Lebih jelasnya, terdapat beberapa contoh di bawah ini.

Contoh Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 15
Modul: Kurikulum Terbaru Metode Cling… Gak Pake Mikir…! Matematika SMA
Tema: Persamaan Kuadrat (PK) dan Fungsi Kuadrat

 

1. Persamaan kuadrat 3x^{2}+6x-1=0 mempunyai akar-akar \alpha dan \beta . Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1-2 \alpha   dan 1-2 \beta adalah ….

a.  3x^{2}-18x-37=0

b. 3x^{2}-18x+13=0

c. 3x^{2}-18x+11=0

d. 3x^{2}-6x-37=0

e. 3x^{2}-6x+11=0

 

Pembahasan

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 16

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 17

Sehingga persamaan kuadrat yang baru menjadi:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 18

2. Persamaan kuadrat x^{2}-4x-2=0 memiliki akar-akar a dan b. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya a + 1 dan b + 1 adalah ….

 

a. x^{2}-6x+3=0

b. x^{2}-6x+7=0

c.  x^{2}+6x-5=0

d. x^{2}+6x+5=0

e. x^{2}-4x+3=0

 

Pembahasan:
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah a + 1 dan b + 1
Sehingga, bentuk persamaan kuadrat barunya menjadi:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 19

 

✔ Contoh Soal UN SMA Matematika Persamaan Kuadrat

Pada kesempatan kali ini, selain sedikit penjelasan di atas Eduteam juga menyediakan berbagai soal UN dan SBMPTN yang berhubungan dengan Persamaan Kuadrat. Sudah siap, Edufriends? Yuk kita kerjakan bersama!

UN SMA MA IPA IPS USBN 2020Modul: SOLUSI Bedah Soal dan Materi Komplet UN 2020 SMA-IPS
Tema: Paket Ujian Nasional Tahun 2017

 

1. Persamaan Kuadrat x^{2}-5x+6=0 mempunyai akar-akar x_{1} dan x_{2} dengan x_{1} \leq x_{2} . Nilai dari 3x_{1}+x_{2} adalah ….
a. 7
b. 8
c. 9
d. 10
e. 11

Pembahasan:
Persamaan kuadrat x^{2}-5x+6=0 dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 20

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 21
Modul: The Best Bedah Soal Komplet UN + USBN 2020 SMA/MA IPS
Tema: Paket Ujian Nasional Tahun 2015

2. Misalkan \alpha dan  \beta adalah akar-akar persamaan x^{2}-12x+7=0 , maka nilai dari \alpha \beta ^{2}+ \alpha ^{2} \beta adalah …

a. 42
b. 49
c. 56
d. 64
e. 84

 

PEMBAHASAN

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 22

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 21
Modul: The Best Bedah Soal Komplet UN + USBN 2020 SMA/MA IPS
Tema: Paket Ujian Nasional Tahun 2016

3. Misalkan x_{1} dan x_{2} adalah akar-akar persamaan 4x^{2}-2x-1=0. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x_{1}+x_{2} dan x_{1} \times x_{2} adalah ….

 

a.  8x^{2}+4x-1=0

b. 8x^{2}-4x+1=0

c.  8x^{2}-2x-1=0

d. 8x^{2}+2x-1=0

e. 8x^{2}-2x+1=0

 

PEMBAHASAN

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 24

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya dimisalkan \alpha   dan  \beta   dengan  \alpha = x_{1}+x_{2} ; \beta = x_{1}x_{2}

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 25

Persamaan kuadrat baru:

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 26

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 10Modul: Cara Win-Win Solution Selesaikan Soal Matematika SMA Kelas X, XI, dan XII
Tema: Persamaan dan Fungsi Kuadrat’ UN 2012

4. Persamaan kuadrat x2+m-2x+2m-4=0 tidak mempunyai akar-akar real. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah…
a. m≤2  atau  m≥10
b. m≤-10  atau m≥-2
c. m<2  atau  m>10
d. 2 < m < 10
e. -10 <m ≤-2

 

PEMBAHASAN

Tidak mempunyai akar–akar real: D < 0,
artinya pilih KECIL < x < BESAR
(jadi pilihan A,B,C jelas salah)

D < 0

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 28

Jadi, batas nilai m adalah  2 < m < 10

 

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 29Modul: Cara Smart Selesaikan Semua Soal Matematika Dalam Hitungan Detik! SMA Kelas X, XI, dan XII
Tema: Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat UN 2006

5. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m^{2}. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m. Di sekeliling kolam dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut adalah ….
a. 24 m^{2}
b. 54 m^{2}
c. 68 mt^{2}
d. 108 m^{2}
e. 124 m^{2}

 

PEMBAHASAN

Materi Persamaan Kuadrat - Rumus, Akar, & Contoh Soal 30

Luas jalan = Luas area – luas kolam
Luas area = panjang area x lebar area
Panjang area = 2 + 2 + panjang kolam = 4 +panjang kolam
Lebar area = 2 + 2 + lebar kolam = 4 + lebar kolam
Cari panjang kolam dan lebar kolam:
Luas kolam = 180 m^{2}

Panjang kolam (pk) = Lebar kolam (lk) + 3
Luas kolam = panjang kolam x lebar kolam
Luas kolam == (lk + 3) . (lk)
Luas kolam == lk^{2}+ 3 lk = 180

lk^{2}+ 3 lk – 180 = 0
(lk + 15) (lk – 12) = 0
lk = -15 (tidak berlaku) atau lk = 12
Nilai lk = 12
Pk = lk + 3 = 12 + 3 = 15
Panjang area = 4 + 15 = 19
Lebar area = 4 + 12 = 16
Luas area = 19 . 16 = 304
Luas jalan = 304 – 180 = 124 m^{2}

Nah, gimana penjelasan, latihan dan pembahasan soal persamaan kuadrat apakah cukup membantu Edufriens semua? Ternyata persamaan kuadrat seru juga ya dan berguna dalam kehidupan sehari-hari kita. Agar makin lancar, jangan lupa gabung edutore.com untuk latihan soal terus ya! Semoga artikel ini membantu, sampai jumpa di pembahasan selanjutnya!